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FACULDADE DOM BOSCO

CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO “Lato Sensu”

ESPECIALIZAÇÃO EM GESTÃO EDUCACIONAL E METODOLOGIA DO ENSINO INTERDISCIPLINAR








A INTEGRAÇÃO DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA NO ENSINO DA MATEMÁTICA: O TEOREMA DE PITÁGORAS





EDUARDO MELLO DOS SANTOS







Cascavel –PR

2010

EDUARDO MELLO DOS SANTOS




A INTEGRAÇÃO DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA NO ENSINO DA MATEMÁTICA: O TEOREMA DE PITÁGORAS





Monografia apresentada ao Programa de Pós-Graduação Lato Sensu da Faculdade Dom Bosco, como requisito parcial para obtenção título de Especialista em Gestão Educacional e Metodologia do Ensino Interdisciplinar.





Orientador: Leandro da Silveira, Msc.







Cascavel - PR

2010


















MELLO DOS SANTOS, Eduardo. A integração da História da Matemática no Ensino da Matemática: O Teorema de Pitágoras / Eduardo Mello dos Santos – 2010. 54 páginas.



Orientador: Leandro da Silveira, Msc.



Monografia (Especialização Lato Sensu acadêmica em Gestão Educacional – Curso de Pós-Graduação em Gestão Educacional e Metodologia do Ensino Interdisciplinar –FACULDADE DOM BOSCO, 2010.




EDUARDO MELLO DOS SANTOS


A INTEGRAÇÃO DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA NO ENSINO DA MATEMÁTICA: O TEOREMA DE PITÁGORAS



Esta monografia foi julgada e aprovada para a obtenção do título de Especialista no Programa de Pós-Graduação Lato Sensu em Gestão Educacional e Metodologia do Ensino Interdisciplinar da Faculdade Dom Bosco.


Cascavel, ___ de _______________ de 2010

__________________________________________

Prof. Isaías Régis, Dr.

Coordenador do Curso


BANCA EXAMINADORA



__________________________________________

Prof Leandro da Silveira, Msc.

Orientador



__________________________________________

Prof.



___________________________________________

Prof.





















Dedico à minha esposa Katya e ao meu filho Arthur

que souberam tão bem compreender os meus

momentos de ausência em função deste trabalho.


















AGRADECIMENTOS


Agradeço primeiramente a Deus por ter dado a oportunidade de vir a este mundo, a fim de que eu possa ensinar a todos os meus atuais e futuros alunos a ciência matemática.

Ao meus pais pelo incentivo que sempre me foi dado.

Aos meus amigos da Especialização , cito Everton, Clair e Leila pela compreensão e estímulo a continuar sempre em frente nos estudos.






















Educai as crianças, para que não seja preciso punir os adultos.”

(Pitágoras)

RESUMO


Aborda-se nesta pesquisa o tema A Integração da História da Matemática no Ensino da Matemática, delimitado para a vida e obra de Pitágoras. Tem-se como objetivo demonstrar sua importância no Ensino Fundamental de Matemática , em particular, o Teorema de Pitágoras. Justifica-se a pesquisa deste tema ao fato de as experiências dos professores e de livros didáticos do ensino fundamental buscarem um método mais eficaz para a aprendizagem, introduzindo a História da Matemática, em foco, o Teorema de Pitágoras, para que o aluno desperte o interesse para a Matemática. Para tanto, usou-se de Metodologia científica com métodos adequados, como o método de investigação qualitativo do tipo monográfico, de finalidade de Pesquisa Pura, de nível de Pesquisa Descritiva. Foram utilizados os Procedimentos de Pesquisa Bibliográfica e de Pesquisa Webgráfica. Por fim, teve-se como resultado mais expressivo a importância da história do Teorema de Pitágoras no ensino para a retomada da significação dos conceitos matemáticos ensinados hoje na escola.


Palavras-chave: História da Matemática – Teorema de Pitágoras
















LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Ilustração 1 – Pitágoras......................................................................................

20

Ilustração 2 – Demonstração de Euclides..........................................................

27

Ilustração 3 – Demonstração do Presidente Garfield.........................................

28

Ilustração 4 – Demonstração de Leonardo da Vinci..........................................

28

Ilustração 5 – Livro 1 (Aplicando a Matemática)................................................

40

Ilustração 6 – Livro 2 ( Tudo é Matemática) .......................................................

40

Ilustração 7 – Livro 3 ( Para Aprender Matemática)............................................

42

Ilustração 8 – Livro 4 (A Conquista da Matemática)...........................................

43

Ilustração 9 – Livro 5 ( Matemática e Realidade)...............................................

44

Ilustração 10 – Demonstração1 do Teorema de Pitágoras do Livro 5................

45

Ilustração 11 – Demonstração 2 do Teorema de Pitágoras do Livro 5...............

45

Ilustração 12 – Demonstração 3 do Teorema de Pitágoras do Livro 5...............

46

Ilustração 13 – Modelo de Demonstração do Teorema de Pitágoras para

aplicar na sala de aula........................................................................................


47


SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................

10

1.1 Justificativa...................................................................................................

11

1.2 Problema de Pesquisa ...................................................................................

11

1.3 Objetivos .......................................................................................................

12

1.3.1 Objetivo Geral........................................................................................

12

1.3.2 Objetivos Específicos..............................................................................

12

1.4 Metodologia Geral da Pesquisa....................................................................

12

1.5 Estrutura do Trabalho .................................................................................

14



2 DESENVOLVIMENTO......................................................................................

14

2.1 A História da Matemática inserida no Ensino de Matemática (Teorema de Pitágoras)....................................................................................................


15

2.1.1 O papel do Professor na Integração da História na Educação Matemática....................................................................................................


16

2.1.2 Relato Histórico de Pitágoras.............................................................

19

2.2 A Construção do Conhecimento Matemático..............................................

2.2.1 A História da Matemática na formação do professor de Matemática....................................................................................................

29


31

2.3 Posição das Propostas Curriculares..............................................................

34

2.4 Abordagem dos livros de 7ª e 8ª séries (Vida e Obra de Pitágoras)............

35

2.4.1 A escolha do Livro Didático de Matemática......................................

37

2.4.2 O mau uso do Livro Didático..............................................................

38

2.4.3 Análise dos livros de 7ª e 8ª séries sobre o Teorema de Pitágoras.....

39

2.4.4 Modelo de Demonstração para sala de aula.......................................

47



3 CONSIDERAÇÕES FINAIS E SUGESTÕES ..................................................

50

3.1 Considerações Finais ....................................................................................

50

3.2 Sugestões........................................................................................................

51



REFERÊNCIAS .....................................................................................................

53


  1. INTRODUÇÃO


Neste trabalho será apresentada de forma simples e objetiva, a importância da Integração da História da Matemática no Ensino da Matemática, procurando envolver o aluno durante as aulas, levando em conta sua ansiosidade, focando um dos mais importantes teoremas, cujo conteúdo é conhecido desde a época do antigo Egito, que é o Teorema de Pitágoras; também será mostrado como se faz a construção do Conhecimento Matemático, lenvando o aluno ao interesse pela matéria. Haverá o relato sobre a História da Matemática no Ensino da Matemática nas Propostas Curriculares, induzindo o professor a um estudo aprofundado de certos conteúdos e uma amostra sobre o que os livros do Ensino Fundamental abordam sobre o objeto de estudo desta monografia.














1.1 Justificativa do tema


De acordo com as experiências dos professores do ensino fundamental e de livros didáticos, existe uma busca muito grande de um ensino de qualidade.

Buscando um método mais eficaz para a aprendizagem, muitos discutem a importância da Integração da História da Matemática nos conteúdos de ensino.

Com isso surgirá um interesse dos alunos por conteúdos matemáticos importantes, como é o caso do Teorema de Pitágoras.

Logo será concluido que a História é importante a ser tratada no ensino para a retomada da significação dos conceitos matemáticos ensinados hoje na escola.


1.2 Problema de pesquisa

Qual a importância da Integração da História da Matemática no Ensino da Matemática, focando a vida e obra de Pitágoras?

Neste sentido, as perguntas de investigação que direcionaram o presente estudo foram:




1.3 Objetivos


A pesquisa buscou identificar os seguintes objetivos: geral e específicos.


1.3.1 Objetivo geral


Nesta pesquisa o objetivo geral é mostrar a importância da Integração da História da Matemática no Ensino de Matemática.


1.3.2 Objetivos específicos


1.4 Metodologia geral da pesquisa


A metodologia para o trabalho apresenta, segundo a abordagem do tema, o método dedutivo, definido por um método racional, que é capaz de levar ao conhecimento de princípios evidentes e irrecusáveis.

Segundo Cervo e Berviam apud. Barros e Lehfeld (2000.p.64) “O processo dedutivo é de alcance limitado pois a conclusão não pode assumir conteúdos que excedam o das premissas”. Porém, não se pode desprezar esse tipo de processo em consideração a essa crítica.

O método de investigação utilizado foi o qualitativo do tipo Monográfico. Segundo Rodrigues (2007) é qualitativo porque se caracteriza por ser uma pesquisa descritiva onde as informações não podem ser quantificadas e os dados obtidos são analizados indutivamente, onde a interpretação dos fenômenos e atribuição de significados são básicas no processo de pesquisa qualitativo. Ainda sobre o método de investigação utilizou-se do tipo monográfico, que segundo Severino (1996, pg.104) os trabalhos científicos serão monográficos na medida em que satisfizerem a exigência da especificação, se determinando a abordagem de um único assunto, um único prolema, com um tratamento especificado.

Com base no manual da UNIESC, a finalidade da pesquisa é Pura porque não se preocupa diretamente com suas aplicações e consequências práticas.

O nível de pesquisa utilizado foi a descritiva, que tem com objetivo principal a descrição das características de determinada população ou fenômeno ou, então o estabelecimento de relações entre variáveis. Uma de suas principais é a utilização de técnicas padronizadas, de coleta de dados, tais como o questionário e a observação sistemática.

Para tanto, utilizou-se as pesquisas Bibliográficas fundamentadas de contribuições de diversos autores sobre determinados assuntos, em material já elaborado, constituído principalmente de livros e artigos científicos. Também foi utilizada a pesquisa Webgráfica. A internet constitui hoje um dos mais importantes veículos de informações. Não se pode deixar de lado as possibilidades desse meio. Ocorre, porém, que existe na internet, mais do que em qualquer outro meio, excesso de informações. Daí a conveniência de utilização de sistemas de busca, que podem ser de três categorias: mecanismo de busca, diretórios e mecanismo de metabusca.


1.5 Estrutura do trabalho


O trabalho está organizado da seguinte forma:

Na primeira seção, a introdução, apresenta-se a justificativa do tema, os problemas de pesquisa, os objetivos da pesquisa e a metodologia que foi empregada no trabalho.

Na segunda seção, o desenvolvimento, relata-se a História da Matemática inserida no Ensino de Matemática, tomando como foco o Teorema de Pitágoras, a Construção do conhecimento Matemático. Ainda nesta seção temos a posição das Propostas Curriculares e a abordagem nos livros de 7ª e 8ª séries sobre a história de Pitágoras.

Na terceira e última seção, considerações finais e sugestões, estão tecidas as falas finais deste autor em resposta a pesquisa elaborada no tema A Integração da História da Matemática no Ensino da Matemática: O Teorema de Pitágoras, onde percebeu-se a necessidade de introduzir mais História da Matemática para despertar um interesse maior dos alunos no ensino de Matemática.



2 DESENVOLVIMENTO


Faz-se nesta seção, uma abordagem sobre A Integração da História da Matemática no Ensino da Matemática. Apresentando questões teóricas atuais consideradas relevantes para o estudo que enfoca como tema principal O Teorema de Pitágoras.


2.1 A História da Matemática inserida no Ensino de Matemática (Teorema de Pitágoras)


A História da Matemática pode exercer um importante papel no processo de ensino-aprendizagem tanto em relação ao professor quanto em relação ao aluno. Ao estudante pode propiciar condições de perceber as diversas etapas da construção do pensamento Matemático, entender as diferentes práticas sociais que geraram as necessidades de sua produção e trabalhar as diversas linguagens e formas simbólicas que o constituem e o condicionam. Ao professor, permite problematizar a ação pedagógica no sentido de se criar uma consciência das vivências e recursos cognitivos e interpretativos necessários para uma apropriação significativa das idéias matemáticas.

Assim, a História da Matemática apresenta um papel importante no processo de ensino-aprendizagem ao estimular o envolvimento e a participação ativa do estudante, ao apresentar as dificuldades superadas na busca de solução para os problemas historicamente constituídos de acordo com as diferentes necessidades de diversas sociedades e ao liberar os recursos cognitivos e afetivos do aluno para o re-criar da Matemática.

O adolescente, ao tomar contato com as produções de diferentes épocas e culturas, pode ressignificá-las com base em suas próprias experiências e estabelecer uma atividade dialógica com as diferentes características da linguagem matemática (natureza teórica e sistemática, coerência interna, procedimentos lógicos e lingüísticos ligados a uma axiomática própria, entre outras), que não se manifestam no conhecimento construído espontaneamente fora da escola. Além disso, a percepção da dialética dos processos criativos desmistifica a idéia de que a Matemática é algo pronto e acabado, distante das capacidades pessoais, e colabora para diminuir os bloqueios dos alunos em relação ao aprendizado da Matemática.



2.1.1 O papel do Professor na Integração da História na Educação Matemática


Segundo o livro História da Matemática na Educação Matemática de Dalva, Cristina e Motta, Capítulo III referente aos múltiplos olhares da escola na integração da História na Educação Matemática, Furinghetti (1997) que ao analisar as experiências acumuladas sobre o uso da história na educação matemática, os professores apresentam um grande entusiasmo em oferecer essa integração. Mas não existe uma homogeneidade da formação e treinamento dos professores em história da matemática, havendo uma grande diferenciação nas fontes de pesquisa que eles utilizam.

É importante analisarmos o papel do professor no processo de interação entre a História da Matemática e a Educação Matemática. “Segundo ela, por um lado o professor age como um filtro das sugestões apresentadas pelos que desenvolvem os currículos e pelos historiadores da matemática; por outro lado, os professores fornecem os retornos, “outputs”, dados pelos alunos que permitem a avaliação das experiências.” (FURINGHETTI, 1997, apud DALVA, CRISTINA e MOTTA, 2006, p.108)

Realmente é de suma importância o interesse do professor pelo assunto envolvido e a sua bagagem de informações, ou seja, seu grau de conhecimento para ser transmitido para os alunos. Sem esses fatores é impossível uma interação entre a história da Matemática e a Educação Matemática.

Furinghetti considera que para discutirmos o uso da História da Matemática em Educação Matemática precisamos notar que existem duas correntes principais de intervenção da História no ensino de Matemática: a primeira objetiva promover a matemática, a outra refletir sobre matemática. Enquanto a primeira corrente está ligada ao aspecto social da disciplina e a sua imagem, a segunda liga-se aos aspectos interiores à disciplina, como o seu desenvolvimento e seu entendimento. (FURINGHETTI, 1997, apud DALVA, CRISTINA e MOTTA, 2006, p.108)

Segundo a autora, essas intervenções históricas podem se referir à intervenção local, podendo ser específicos ao conceito exigido no momento, ou se reportarem às intervenções globais, abrangendo diferentes tópicos e situações para serem trabalhadas. Deste modo, as abordagens históricas permanecem superficiais quando repassadas para sala de aula.

Também não podemos deixar de lado as dificuldades que os alunos têm em relembrar e produzir algo que foi aprendido


A educação brasileira carrega de herança da escola tradicional, que nos legaram os jesuítas nos tempos de colonização; estes mantinham um ensino dogmático (baseado apenas na visão da igreja), trabalhando numa visão linear, cartesiana, tendo como referência os pressupostos de Santo Agostinho e São Tomas de Aquino. 1



Mesmo depois de o ensino não ser mais exclusividade da igreja e, por conseguinte, não estar mais sob a orientação jesuítica, os métodos, na sua grande maioria, no Brasil de hoje, permanecem tradicionais, com currículos defasados, com uma estrutura escolar autoritária, fechada em si mesma, legitimadora de um processo social não igualitário.


____________________________

1 http://www.sapientia.pucsp.br//tde_busca/arquivo.php?codArquivo=4949

Para alunos, professores, pais e público em geral, há sempre a pergunta “para que serve a história da matemática? Qual a sua utilização?” Destacam-se 4 pontos que constituem a essência de um programa de estudos, poderíamos dizer de um currículo, de história da matemática, que são:


  1. Para situar a matemática como uma manifestação cultural de todos os povos em todos os tempos, como a linguagem, os costumes, os valores, as crenças e os hábitos, e como tal diversificada nas suas origens e na sua evolução;

  2. Para mostrar que a matemática que se estuda nas escolas é uma das muitas formas de matemática desenvolvidas pela humanidade;

  3. Para destacar que essa matemática teve sua origem nas culturas da Antiguidade mediterrânea e se desenvolveu ao longo da Idade Média e somente a partir do século XVII se organizou como um corpo de conhecimentos, com um estilo próprio;

  4. E desde então foi incorporada aos sistemas escolares das nações colonizadas e se tornou indispensável em todo o mundo em conseqüência do desenvolvimento científico, tecnológico e econômico. (D’ AMBRÓSIO, 1996, p.10)



Existem profissionais da educação, como em qualquer outra profissão, que correm atrás de cursos e atualizações e, há também os que são acomodados. Quando o professor gosta realmente do que faz, que é transmitir o seu conhecimento, ele procura novas ferramentas para atingir suas metas, não se contendo apenas com uma só metodologia.

A Integração da História na Educação da Matemática, para alguns professores de matemática, poderá ser uma ferramenta de grande poder de atuação, mas para isso ser realidade, ela deve ser posta em prática e não ficar apenas em palestras e seminários, quando são freqüentados.




2.1.2 Relato Histórico de Pitágoras


Sobre o relato histórico, serão destacados alguns assuntos importantes para esta pesquisa. São eles:

Os assuntos foram tirados de livros históricos, que constam da bibliografia. Nenhum desses assuntos foi visto em livros do ensino médio que tenham sido analisados para este trabalho.

A seguir temos uma imagem de Pitágoras que enfoca, de um modo geral, a sua criação. Em sua mão direita, está apoiada uma pirâmide que retrata seu ensinamento sobre o triângulo, e apoiado com a sua mão esquerda sobre, aparentemente uma toalha, a demonstração clássica de seu Teorema. No fundo, os degraus e as colunas representam um local onde se transmitia o conhecimento, um templo.










Figura 1: Pitágoras

Fonte: Internet2



Pouco se sabe sobre Pitágoras. Acredita-se que foi um dos alunos de Tales (640 a.C. – 550 a.C.), um famoso filósofo grego, conhecido como um dos "sete homens sábios". Não chegou até nós nenhum escrito de Pitágoras ou Tales. Isto não significa que eles não escreveram nada; se o fizeram, seus trabalhos se perderam no tempo. Uma coisa de que a história tem certeza é que sem Tales não teria havido um Pitágoras e sem Pitágoras não teria havido um Platão (427 a.C. - 347 a.C.). E, sem Platão, o mundo ficaria privado de muitas idéias maravilhosas.

Pitágoras foi um matemático e filósofo grego, que , segundo se acredita, teria vivido aproximadamente entre 569 a.C. e 500 a.C. Nascido, segundo se presume, em

pequena e obscura aldeia da ilha de Samos. Quando era apenas um menino, viveu em uma atmosfera de cultura e arte, pois nesta época se iniciava o Período Áureo da Grécia.


__________________________

2 www.lpi.tel.uva.es/.../punto2/pitagoras2.jpg

Muito moço ainda, empreendeu longa e paciente viagem pelas terras do Oriente, tendo percorrido, ao passo lento das caravanas, o Egito, a Síria, a Palestina, grande parte da Arábia e vários recantos da Pérsia. Permaneceu alguns anos em Tebas, no Egito, e, ali, freqüentou os templos e ouviu os sacerdotes e adivinhos. Conviveu com faquires macilentos, observou os encantadores de serpentes e encontrou-se, muitas vezes, com os curandeiros errantes do deserto. Com os sacerdotes de Mênfis, iniciou-se no estudo das Ciências Ocultas, aprendeu as regras de cálculo e chegou a conhecer recursos e artifícios da Magia egípcia.



Ao regressar à Grécia, trazia Pitágoras a fama de ser um sábio, dotado de estranho poder, capaz, portanto, de revelar aos homens todas as faces da vida e os segredos inatingíveis das coisas. Contudo, os chefes políticos não o viam com bons olhos; temiam que o misterioso orientalista, com os recursos da Ciência e com a força da Magia, alcançasse prestígio e autoridade sobre a massa popular. Começaram a tecer, em torno do filósofo, perigosa teia de intrigas e torpezas; as ameaças eram constantes e tornavam-se cada vez mais claras e ostensivas. Viu-se Pitágoras, obrigado a exilar-se de sua Pátria e emigrou para a Magna Grécia, estabelecendo-se na cidade de Crotona. Isso teria ocorrido no ano 529 a.C.



Era Crotona, pequena colônia grega, já famosa pela cultura, inteligência e atividade de seu povo. Foi o filósofo de Samos bem recebido pelos crotonenses; fez amizade com Milon, homem rico, muito estimado chefe de poderosa facção política.


Amparado e prestigiado pelo bondoso Milon, fundou Pitágoras uma espécie de Curso que passou a ser freqüentado por cidadãos de todas as classes sociais e até mulheres, apesar da proibição, a que estavam sujeitas, de irem a reuniões públicas. Entre as suas ouvintes mais atentas, estava a jovem e formosa Teano, filha de Milon, seu amigo e protetor, e com ela acabou ele por casar-se, apesar da grande diferença de idade. (TAHAN, 1963, pág. 71)




Ensinava Pitágoras, a seus aplicados e fiéis discípulos, que os números governavam o mundo e que, por isso, todos os fenômenos que ocorriam na terra, no ar, no fogo, ou na água, podiam ser expressos, avaliados e previstos por meio de números.

Eram curiosas as idéias divulgadas por Pitágoras. Considerava certos números como masculinos (o três, por exemplo, era masculino), ao passo que outros (o dois, por exemplo), eram femininos. O cinco, união de dois (primeiro feminino) com o três (primeiro masculino), simbolizava o casamento.

As doutrinas do filósofo de Samos alcançaram no meio intelectual de Crotona, um prestígio incalculável. Os seus discípulos, denominados pitagóricos, estavam sujeitos a severa disciplina e eram obrigados, sob pena de morte, a guardar, em segredo, os ensinamentos recebidos.

A ciência da música foi um outro ponto de interesse para os pitagóricos. Eles provaram, por exemplo, que se duas cordas, submetidas à mesma tensão, tem os comprimentos na razão de 2 para 1, então as notas musicais obtidas quando as cordas são vibradas diferem entre si de uma oitava.

Foram também os primeiros a ensinar que a Terra é um globo que. Naquele tempo, é claro, o senso comum ensinava ser a Terra evidentemente plana e imóvel. 3

A escola pitagórica continuou desenvolvendo importante atividade até cerca de 500 anos antes de Cristo, isto é, até o advento da escola de Atenas com Platão e seus sucessores. Não só havia criado a Ciência Matemática, mas elaborara, se bem que de maneira vaga e imperfeita, a idéia de um mundo de fenômenos físicos governados por leis matemáticas.




A escola de Pitágoras, que era aristocrática, chegou a tentar também uma ação política e com isso excitou a malevolência dos profanos; por ocasião de uma revolta popular, a casa de Milon foi incendiada e Pitágoras refugiou-se em Tarento, onde pouco depois foi assassinado durante outra revolta. Um grupo exaltado cercou a casa em que se achava Pitágoras e incendiou-a. O filósofo, sua esposa e alguns discípulos pereceram nesse incêndio. (C.f. BELL, G., 30).




São várias as discussões sobre a origem do Teorema de Pitágoras, algumas foram destacadas para comentários em sala de aula com os alunos. Notemos que algumas são



________________

3 http://pt.wikipedia.org/wiki/Pit%C3%A1goras

mais interessantes, como a dos egípcios para medirem as suas terras, por volta de 4000 a.C. Há inúmeras formas de exercícios que podem ser aproveitados sobre essa discussão.


A ORIGEM DO TEOREMA


O Teorema de Pitágoras é: a2 = b2 + c2, onde b e c são os catetos e a é a hipotenusa.

"Num triângulo retângulo a área do quadrado construída sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos”.

De acordo com a história, Pitágoras descobriu e demonstrou o teorema que ficou conhecido com o seu nome. Mas de fato, antes dele muitos outros já o tinham utilizado na resolução de diversos problemas.

Frank Swetz advoga, no seu livro WAS PYTHAGORAS CHINESE, que mesmo a demonstração do teorema era já conhecida dos chineses, muitos antes de Pitágoras ter vivido.

Segundo este, a demonstração encontra-se no livro chinês CHOU PEI SUAN CHING, que data de 1100 a.C., mas outros autores datam o mesmo livro de 300 a.C.

Outros pensam que a demonstração é ainda mais antiga e que está "escondida" nas inúmeras figuras contidas na tábua babilônica BM-15285, de cerca de 1800 a.C.

Não devemos pensar com isto que Pitágoras não o demonstrou. Embora, como é sabido, não tenham chegado aos nossos dias nenhum escritos originais e, na verdade, não existe qualquer documento que prove tal hipótese. Mas, se por um lado é natural que Pitágoras não tenha inventado o teorema, uma vez que é certo que este era utilizado na sua época, por outro é bem possível que o tenha demonstrado.

Se pensarmos que existem mais de 400 demonstrações do Teorema, inventadas pelas mais diversas personalidades, como Leonardo da Vinci ou o presidente dos EUA J.A. Garfield (1876), porque razão não acreditar numa série de autores, como por exemplo, Proclus (411 - 485) que relatam que Pitágoras o demonstrou.

Se não é certo quem terá pela primeira vez demonstrado o Teorema de Pitágoras, também não há consenso sobre quem primeiro o utilizou.

É conhecida a história de que, por volta de 4000 a.C., os egípcios a fim de medir suas terras, necessitavam usar o ângulo reto e, para construí-lo, usavam este método: Homens conhecidos como fincadores de estacas tomavam uma corda de certo tamanho e davam treze nós em intervalos iguais. Então, fixavam com estacas a corda sobre o chão, colocando as estacas 2 e 3 no quarto e no oitavo nó e a estaca 1 no encontro do primeiro e décimo - terceiro nó. É claro que a corda devia ficar bem esticada. O ângulo cujo vértice caía sobre a estaca 2 era reto.

Podemos verificar que o lado oposto ao ângulo reto do triângulo formado pelos fincadores de estacas egípcios media 5 unidades e que os outros dois lados mediam, respectivamente, 3 e 4 unidades. Os egípcios estavam satisfeitos com o seu esquema e nunca lhes ocorreu perguntar por que um triângulo com lados proporcionais a 3, 4 e 5 era, de acordo com a nossa nomenclatura atual, retângulo. Para eles, era suficiente saber que, com lados nesta proporção obtinha-se um triângulo reto.


Os egípcios conseguiam construir ângulos retos com alguma precisão, mas a história relata, na maior parte dos casos como verídica, foi uma conjectura feita por Moritz Cantor em 1881, repetidas vezes sem conta até hoje.

Embora não haja provas que tal tenha acontecido, é também conhecida a imagem de um muro do túmulo de Menene (de cerca de 1420 a.C.), em cima, com exatamente três esticadores de cordas.

No entanto, o primeiro documento escrito no Egito, mas em Grego, que se conhece e que trata do Teorema de Pitágoras são os Elementos de Euclides (cerca de 430 - 360 a.C.)



Centenas de demonstrações do Teorema de Pitágoras têm aparecido através dos séculos. O Teorema de Pitágoras, um livro escrito por E. S. Loomis, contém uma coleção classificada de cerca de 370 demonstrações do Teorema. Iremos destacar a Demonstração de Euclides, do Presidente James Abram Garfield e a de Leonardo da Vinci. Escolhemos essas três demonstrações porque são as mais utilizadas nos livros didáticos. As abordagens do Teorema são elementares, ou seja, iremos apenas anunciá-las de modo que permita o melhor entendimento por parte dos alunos do ensino fundamental.


ANUNCIANDO A DEMONSTRAÇÃO DE EUCLIDES


Em 300 a.C. aproximadamente, Euclides, um famoso matemático grego, escreveu uma demonstração do Teorema. Euclides é conhecido pela sua compilação das partes elementares de geometria em treze volumes, conhecida agora como os Elementos de Euclides. Estes elementos foram a base de todos os livros subseqüentes de geometria elementar.

A demonstração de Euclides usa um diagrama no qual, sobre cada um os lados de um triângulo retângulo, é construído um quadrado.

Figura 2: Demonstração de Euclides


Ele então passa a provar que Como a área área e a área , então .



    1. ANUNCIANDO A DEMONSTRAÇÃO DO PRESIDENTE


James Abram Garfield, presidente dos Estados Unidos durante apenas 4 meses (pois foi assassinado em 1881) era também general e também gostava de Matemática. Ele deu uma prova do teorema de Pitágoras.

A área do trapézio com bases a, b e altura a + b é igual à semi-soma das bases vezes a altura. Por outro lado, a mesma área é também igual à soma das áreas de 3 triângulos retângulos. Portanto:


Simplificando, obtemos


Figura 3: Demonstração do Presidente Garfield

Fonte: Internet 4





    1. ANUNCIANDO A DEMONSTRAÇÃO DE LEONARDO DA VINCI O grande gênio criador da Mona Lisa também concebeu uma demonstração do teorema e Pitágoras.

Os quadriláteros ABCD, DEFA, GFHI e GEJI são congruentes. Logo os hexágonos ABCDEF e GEJIHF têm a mesma área. Daí resulta que a área do quadrado FEJH é a soma das áreas dos quadrados ABGF e CDEG.


Figura 4: Demonstração de Leonardo da Vinci

Fonte: Internet 5

_____________

4 www.educ.fc.ul.pt

5 www.geocities.com/dicaseduvidas/pitag.doc


Também foi visto como os livros do ensino fundamental abordam as demonstrações. Em resumo, são poucos os que apresentam algum tipo de demonstração.

Segundo o objetivo deste trabalho, o acréscimo de demonstrações no ensino do Teorema de Pitágoras favoreceria maior fixação do assunto.


2.2 A Construção do Conhecimento Matemático



As novas teorias em construção no campo de investigação História na Educação Matemática defendem uma abordagem sociocultural que considere os significados em seus contextos específicos. A maior crítica é dirigida ao princípio recapitulacionista, que provoca um reducionismo de natureza sociológica ao identificar a cultura como algo externo, fonte de estímulos para desenvolvimentos conceituais e a cognição como algo interno, mero reflexo da cultura. (MIGUEL, 2004, pág. 35).



O recurso à História da Matemática deve ser, então, baseado em um diálogo do passado com o presente e interpretado dentro das práticas sociais em que tal passado se achava envolvido. Desse modo, se deixaria de subordinar o presente ao passado e ao mesmo tempo de se fazer uma leitura da evolução dos conceitos da maneira que se acredita que eles tenham acontecido, derrubando a visão internalista do desenvolvimento da Matemática que essa leitura pressupõe.

Concordando com as proposições de Miguel (2004), procuramos definir o papel da História da Matemática na Educação Matemática. Ao ponderarmos sobre a importância das crenças, dos valores e da emoção nos aspectos cognitivos envolvidos no ensino e na aprendizagem da Matemática, não podemos nos furtar a esse exame das práticas sociais nas quais ocorreu o desenvolvimento da Matemática que hoje conhecemos. Sob essa perspectiva, as problematizações permitidas pelo conhecimento histórico da construção do conhecimento matemático são muito amplas e podem enfocar diversos aspectos, entre os quais:


1. procurar reproduzir em sala de aula o processo de criação da Matemática, apresentando as informações fundamentais para se entender a lógica de um determinado desenvolvimento;

2. conseguir apresentar uma significação para o tópico a ser apresentado e ao mesmo tempo justificar o simbolismo necessário ao formalismo da Matemática, para motivar o aluno a prosseguir seus estudos;

3. oferecer uma visão de conjunto da Matemática, ao favorecer as ligações entre as diversas temáticas sem o rigor característico da Matemática do presente, através das aplicações práticas que ocorreram na evolução histórica da Matemática;

4. atribuir a produção cultural da sociedade não exclusivamente a quem finalmente resolveu um problema, mas ao esforço e à criatividade de conjuntos de toda comunidade;

5. apresentar a Matemática como uma ciência em construção, mostrando os equívocos ocorridos durante o seu desenvolvimento como parte da natureza da atividade Matemática;

6. resgatar a identidade cultural da sociedade, através de uma compreensão externalista da História da Matemática;

7. revelar os fundamentos da Matemática;

8. contribuir para a formação de um pensamento independente e crítico sobre a construção histórica da Matemática. (MIGUEL, 2004, p. 37).



Assim, a História da Matemática apresenta um potencial pedagógico muito grande e, mais especificamente, apresenta a possibilidade de trabalharmos os afetos envolvidos no processo de ensino aprendizagem de uma maneira positiva, podendo colaborar para quebrar o ciclo de exclusão em relação à matemática escolar que encontramos hoje.

Inegavelmente, hoje não se vive no mundo sem dominar matemática, mesmo que seja de uma forma não reconhecida nas escolas. Por exemplo, a capacidade de se encontrar um endereço, de se fazer uma chamada telefônica, de se lidar com dinheiro, de se operar uma televisão e um automóvel e assim por diante, tem fortes componentes matemáticos.


É inegável que o mundo se desenvolveu com base no modelo europeu que se impôs a partir do período colonial, num estilo impregnado de matemática. A urbanização, a comunicação, a produção, a tecnologia, a economia e assim por diante, tudo tem matemática embutida. (D’AMBRÓSIO, 1996, p.14).





Com esse grande argumento de que a matemática está em tudo em nossas vidas é que a aplicação da História na Educação Matemática torna-se tão viável e justificada, mostrando aos alunos que tudo tem uma história.



2.2.1 A História da Matemática na formação do professor de Matemática


A discussão sobre a utilização da história na formação do professor de matemática não é recente, em um texto intitulado “Mathematics as a teaching tool” de 1976, relata que “recomendações para a inclusão de algum estudo de história em programas de treinamento de professores podem ser encontradas em vários estudos e relatórios de comitês de muitos países”. (JONES, 1976, p. 5 apud MIGUEL; BRITO. 1996 p. 48).

Nas décadas de 60 e 70 no ocidente, predominou a tendência do formalismo pedagógico-estrutural, em conseqüência decresceu o interesse pela abordagem histórica no ensino da matemática, devido à adoção por parte dos diferentes grupos que se formaram visando à operacionalização do ideário, de uma concepção estruturalista da matemática e de uma concepção quase sempre tecnicista do modo de organização do ensino. (BRITO; MIGUEL, CADERNOS CEDES 40, 1996).

Em nosso país a discussão da inclusão da história da matemática é mais recente. Aconteceram e vem acontecendo inúmeros eventos relacionados a este assunto. Os participantes destacaram a lamentável ausência da disciplina História da Matemática, quer na quase totalidade dos currículos de Licenciatura, quer na totalidade dos cursos de Magistério. Contudo, observaram também que a inclusão de tal disciplina nos cursos de formação de professores, por si só, não garantiria que a mesma se revertesse em um instrumento de apoio à prática docente. Haveria necessidade de aprofundamento da discussão relativa aos objetivos que uma disciplina dessa natureza viria a cumprir na formação do professor. (MIGUEL; BRITO. 1996 p. 48).

Na formação dos futuros professores de matemática, eles recebem uma quantidade substancial de informações relativas às matemáticas chamadas superiores. Entretanto em relação à história e o desenvolvimento das disciplinas estudadas, recebem pouca ou nenhuma informação. É evidente que o professor de matemática não deve substituir o rigor pela história ou contrapor a história ao rigor, mas mostrar que o rigor é também uma categoria histórica que, como todas as outras, depende das condições e das possibilidades colocadas pelos diferentes contextos e épocas, e de desenvolvimento histórico e não, simplesmente, de apresentá-las dentro de um quadro axiomático estático.

Segundo Miguel Chaquiam, (2006), reflexões sobre como deveria ser desenvolvida a disciplina História da Matemática surgiram a partir das reclamações dos alunos do Curso de Licenciatura em Matemática a respeito da mera apresentação de seminários, abordando tópicos isolados, sem a ocorrência de debates a respeito de tópicos mais questionadores com vistas à obtenção de uma visão global da disciplina.

Uma análise da época de estudante durante os cursos de licenciatura, especialização e mestrado em Matemática, fez com que ele chegasse à conclusão que foram raras as situações em que os professores abordaram questões históricas, seja de forma pitoresca, episódica ou como fatos isolados. Na maioria dos casos, a História da Matemática foi tratada como um fato isolado, acumulado ao longo dos tempos, sem qualquer relação com os conteúdos matemáticos. Especificamente, no curso de licenciatura, a disciplina História da Matemática foi desenvolvida sob seminários, sem debates que viessem contribuir à formação profissional, com provas discursivas que mais pareciam os antigos questionários aplicados no ensino fundamental, incluindo algumas demonstrações.

Outros dois fatos que vieram contribui para que continuasse aprofundando as reflexões citadas inicialmente foram: o primeiro Exame Nacional de Cursos, ocorrido em 1998, que passou a avaliar conteúdos relativos à História da Matemática e o segundo, a observação de como professores de Matemática conduziam o desenvolvimento dos conteúdos matemáticos, sem qualquer abordagem histórica ou aplicação didática da História da Matemática, durante o desenvolvimento do componente curricular Estágio Supervisionado.

Além dos motivos acima citados, Chaquiam analisou a PORTARIA Nº. 57, de 05/02/1998, publicada no Diário Oficial da União em 06/02/98, onde foi estabelecido que, no perfil do graduando, será considerada a visão histórica e crítica da Matemática, tanto no seu estado atual como nas várias fases de sua evolução, bem como, a História da Matemática como uma das tendências em Educação Matemática e, o PARECER CNE/CES 1.302/2001, publicado em 05/12/2001, onde foi estabelecido que os conteúdos comuns a todos os cursos de Licenciatura devem incluir conteúdos referente a História da Matemática, tornando, assim, obrigatória a inclusão da disciplina História da Matemática nos atuais currículos brasileiros dos Cursos de Licenciatura e Bacharelado, em função da elaboração do novo Projeto Pedagógico do Curso de Licenciatura em Matemática da Universidade da Amazônia - UNAMA, implantado em 2002, em regime anual e, reestruturado em 2003 para regime semestral, com início em 2004, vigorando até o momento.


2.3 Posição das Propostas Curriculares


Nos Parâmetros Curriculares Nacionais, a respeito da parte histórica na matemática no 4º ciclo, tem-se o seguinte:


A História da Matemática pode ser também uma fonte de interesse para os jovens na medida em que permite reflexões sobre acasos, coincidências e convergências de espírito humano na construção do conhecimento acumulado pela humanidade. Não obstante os casos de rivalidade, ocultamentos e até mesquinharias, o conhecimento se constitui soberanamente. Uma história que pode levar à reflexão sobre as relações entre os homens e sobre indeléveis teias que conspiram a favor do avanço do conhecimento humano – quem sabe a favor dos próprios homens. (PCN, 1998, p. 80).



É claro que não podemos abordar todos os assuntos de matemática do ensino fundamental, mas devemos dar mais atenção aos que são importantes, como o Teorema de Pitágoras. Vimos que os Parâmetros Curriculares Nacionais enfocam a importância da história, mas como veremos nesta pesquisa, os livros de matemática não dão muita importância a isso.


A educação escolar deve exercitar a democracia e a cidadania, enquanto direito social, através da apropriação e produção dos conhecimentos. Para tanto, faz-se necessária a busca de uma sociedade isenta de seletividade e discriminação, libertadora, crítica, reflexiva e dinâmica, onde homens e mulheres sejam sujeito de sua própria história.6

________________

6 http://www.sed.sc.gov.br/joomla/index.php?


A concepção de Matemática adotada pela Secretaria de Estado da Educação e do Desporto fundamenta-se na corrente de pensamento histórico-cultural. Entende-se a Matemática como um conhecimento produzido e sistematizado pela humanidade, portanto histórico, com o objetivo de conhecer, interpretar e transformar a realidade. Esta compreensão da história da Matemática indissociável da história da humanidade – em processo de produção nas diferentes culturas – busca romper com algumas concepções fundamentadas na corrente de pensamento positivista e entender o caráter coletivo, dinâmico e processual da produção deste conhecimento que ocorre de acordo com as necessidades e anseios dos sujeitos.


Com este entendimento, é importante, também, perceber a Matemática como uma forma de expressão, isto é, como uma linguagem que é produzida e utilizada socialmente como representação do real e da multiplicidade de fenômenos propostos pela realidade.


Neste contexto, a função do educador matemático – como mediador entre o conhecimento adquirido socialmente pela criança e o conhecimento escolar – é possibilitar ao aluno a apropriação da forma sistematizada de pensamento e de linguagem que é a Matemática, partindo das experiências vividas pela criança para atingir níveis mais complexos de abstração.


A Educação Matemática tem como objetivo possibilitar ao aluno a apropriação deste conhecimento como um dos instrumentos necessários ao exercício da cidadania. (PC-SC, 1998, pág. 115).



Como está nas citações acima, a aplicação da educação Matemática está fundamentada na corrente do pensamento histórico-cultural. O educador tem como objetivo incentivar o aluno pela busca do conhecimento através da aplicação da história.


Alem disso, os exemplos adotados devem ser focados em experiências vividas pela criança com finalidade de alcançar uma compreensão mais precisa do assunto envolvido.




2.4 Abordagem dos livros de 7ª e 8ª séries (Vida e Obra de Pitágoras)




O livro didático de Matemática, ao longo dos últimos anos, vem passando por mudanças significativas, quer no conteúdo selecionado quer na abordagem que vem sendo dada a esses conteúdos. Todavia, percebem-se ainda alguns problemas em relação á abordagem de determinados conteúdos, como é o caso do Teorema de Pitágoras, o que suscitou um vivo interesse entre os pesquisadores.

O livro didático tem uma grande participação no ensino de matemática no Brasil. Como a popularização do ensino, ele se mostrou um elemento fundamental na divulgação do conhecimento matemático. Segundo Choppin (2002), os livros didáticos exercem quatro funções fundamentais. Primeira função referencial, uma vez que constitui um privilegiado suporte dos conteúdos educativos, o depositário dos conhecimentos, técnicas ou habilidades que um grupo social acredita que seja necessário transmitir às novas gerações. Segunda: função instrumental: o livro didático põe em prática métodos de aprendizagem, propõe exercícios ou atividades que, segundo o contexto, visam facilitar a memorização dos conhecimentos, favorecerem a aquisição de competências disciplinares ou transversais, a apropriação de habilidades, de métodos de análise ou de resolução de problemas. Terceira: função ideológica e cultural: Instrumento privilegiado de construção de identidade, o livro didático é reconhecido, assim como a moeda e a bandeira, como um símbolo de soberania nacional e, nesse sentido assume um importante papel político. Quarta: função documental: acredita-se que o livro didático possa fornecer, sem que sua leitura seja dirigida, um conjunto de documentos, textuais ou icônicos, cuja observação ou confrontação podem vir a desenvolver o espírito crítico do aluno.

É importante ressaltar que, apesar do desenvolvimento de novas tecnologias, o livro didático mantém bravamente sua posição de destaque entre os materiais instrucionais. Ele tem vencido o tempo, passando por diversas tendências pedagógicas e ainda as reformas do ensino.

O livro didático sozinho não tem condições de possibilitar uma aprendizagem adequada, sendo essencial à participação de um professor bem preparado e determinado a realizar um bom trabalho. Segundo Lopes (2000), um bom livro, nas mãos de um professor despreparado, pode ser um desastre, assim como um livro de baixa qualidade nas mãos de um professor competente pode resultar numa ótima aprendizagem.

Diante deste quadro, é importante que o professor disponha de uma diversidade de livros de qualidade, e que se ajustem as várias realidades sociais e regionais do Brasil.

Visto estes questionamentos, observa-se a necessidade de desenvolver uma investigação acerca das considerações sobre a história do “Teorema de Pitágoras” apresentada em livros didáticos de matemática do Ensino Fundamental.


2.4.1 A escolha do Livro Didático de Matemática


O livro didático de matemática, quando bem escolhido, tem um papel fundamental no processo ensino-aprendizagem por várias razões:

o professor, somente, não tem como fornecer todos os elementos necessários para a aprendizagem do aluno, alguns deles como problemas, atividades e exercícios podem ser abordados com o livro didático;

na sala de aula há muitos alunos, afazeres e atividades extracurriculares que impedem o professor de planejar e escrever textos, problemas interessantes e questões desafiadoras, sem ajuda do livro didático;

como a matemática é essencialmente seqüencial, um assunto depende do outro, e o livro didático torna-se uma ajuda útil para essa abordagem;

para professores com formação insuficiente em matemática, um bom livro didático pode ajudar a suprir essa deficiência;

muitas escolas são limitadas em recursos como bibliotecas, materiais pedagógicos, foto copiadoras, vídeos e computadores, de modo que o livro didático constitui o básico, senão o único recurso didático do professor;

como a aprendizagem da matemática depende do domínio de conceitos e habilidades, o aluno pode melhorar esse domínio resolvendo os problemas e os exercícios sugeridos pelo livro didático;

o livro didático de matemática é tão necessário quanto um dicionário ou uma enciclopédia, pois ele traz definições, propriedades, tabelas e explicações, cujas referências são freqüentemente feitas pelo professor7.


2.4.2 O mau uso do Livro Didático




Muitos professores, na falta de outros materiais instrucionais, tornam-se, voluntariamente ou não, escravos do livro didático. Suas preocupações constituem-se “dar” toda a matéria contida no livro em lugar de trabalhar as idéias essenciais daquela série . O foco é o livro de ponta a ponta e não a aprendizagem do aluno. Isso acarreta algumas conseqüências nocivas que têm sido observadas, tais como:





___________________

7 DANTE, Livro Didático de Matemática; Uso ou Abuso? www.emaberto.inep.gov.br

o conteúdo do livro didático de matemática torna-se o currículo de matemática. Para esses professores, atualizar o currículo significa, simplesmente, adotar um livro publicado mais recentemente.


o uso exclusivo e constante do livro didático pode causar monotonia e conseqüente desinteresse do aluno. Para haver aprendizagem são necessárias experiências variadas, interessantes e significativas. É desencorajador ver o professor usando os mesmos exemplos e exercícios do livro todos os anos e para todos os alunos.





2.4.3 Análise dos livros de 7ª e 8ª séries sobre o Teorema de Pitágoras




O Ministério da Educação divulga todo ano uma relação de livros para serem escolhidos nas escolas públicas do Brasil. . Entre esses livros notam-se algumas divergências em relação ao Teorema de Pitágoras.

O ensino do Teorema de Pitágoras para ser completo, além de enfatizar a parte histórica, é interessante também trabalhar com alguma demonstração, que foi já visto anteriormente. Para isso é necessário ter como base Semelhança de Triângulos, que seria praticamente uma seqüência do Teorema de Pitágoras. Mas como vamos ver a seguir, alguns livros tomam o Teorema de Pitágoras na coleção de 7ª série e Semelhança de Triângulo na coleção de 8ª série.

Entre ínumeras relações, foi destacada o guia de livros didáticos de matemática de 2008.

Neste exemplar (Aplicando a Matemática), o Teorema de Pitágoras se encontra no final do volume da 7ª série. Já Semelhança de triângulos, no volume da 8ª série, logo após resoluções de equações do 2º grau.



Figura 5: 1º livro, Aplicando a Matemática, 7ª Série

  1. Aplicando a Matemática

Alexandre Luis T. de Carvalho

Lourisnei Forte Reis

Editora Casa

Publicadora Brasileira

Fonte:Editora Casa Publicadora – 5ª edição SP. 2006



Tudo é Matemática de Luiz Roberto Dante, já se encontra de acordo com objetivo focado, que é primeiramente a idéia de figuras semelhantes e congruentes e na seqüência o Teorema de Pitágoras. Todo este assunto é abordado no volume da 8ª série, que contém 10 capítulos e 312 páginas.


Figura 6: 2° livro, Tudo é Matemática, 8ª série.

  1. Tudo é Matemática

Luiz Roberto Dante

Editora Ática



.

Fonte: Internet 8

______________

8 portal.mec.gov.br/seb/index.php?


Os outros livros são:

  1. Matemática, Maria Helena S. de Souza, Walter Spinelli, Editora Ática;

  2. Matemática na Vida e na Escola, Ana L.G.B. Rego, et al.,Editora do Brasil;

  3. Novo Praticando Matemática, Álvaro Andrini, Maria J.C.de V.Zampirorolo, Editora do Brasil;

  4. Matemática em Movimento, Adilson Longen, Editora do Brasil;

  5. Matemática Hoje é Feita Assim, Antonio José Lopes Bigode, Editora FTD;

  6. Fazendo a Diferença Matemática, Ayrton Olivares Bonjorno, Editora FTD;

  7. Projeto Araribá – Matemática, Editora Moderna;

  8. Idéias & Relações, Cláudia M. T. Siedel, Edilaine Fernandes, Violeta M. Stephan, Editora Positivo;

  9. Matemática para Todos, Luiz M. P. Imenes, Marcelo C. T. Lellis, Editora Scipione;

  10. Matemática na Medida Certa, José Jakubovic, Marcelo C. T. Lellis, Marília R. Centurión, Editora Scipione;

  11. Construindo Consciências Matemática, Elisabeth Soares, Jackson da Silva Ribeiro, Editora Scipione;

  12. Matemática e Realidade, Antonio dos Santos Machado, et al, Editora Saraiva;

  13. Para Saber Matemática, Edinéia Poli, et al, Editora Saraiva;

  14. Matemática – Idéias e Desafios, Dulce, Iracema, Editora Saraiva.


Conclui-se que em relação a esses dois livros que foram analisados, é que neles faltam de uma maneira ou de outra, algum conteúdo que deve ser preenchido pelo professor, ou seja, nenhum livro é perfeito.


Destaca-se agora, três livros de épocas diferentes para uma análise mais detalhada sobre o conteúdo do Teorema de Pitágoras. . O primeiro livro é uma edição antiga, de 1989, o segundo de 2002 e o terceiro de 2005.

O primeiro livro, de edição de 1989, chama-se Para Aprender Matemática, de Iracema Mori e Dulce Satino Onaga, 7ª série, editora Saraiva.


Figura 7: 3º livro, Para aprender Matemática, 7ª Série.

Fonte: Escaneado do original.



Neste livro, o interessante é que em suas páginas iniciais consta o objetivo de cada capítulo, como se fosse um plano de aula. O capítulo que trata do Teorema de Pitágoras é o capítulo 14 – Estudo da Congruência de Triângulos. No início deste capítulo destaca-se a seguinte observação: “Fazemos uma exploração inicial do Teorema de Pitágoras. Isso possibilitará um enfoque mais compreensível e mais interessante dos números irracionais no início da 8ª série”. (pág. 14).

Neste capítulo são apresentados os tipos de triângulos. No triângulo retângulo já se define a hipotenusa e os catetos. A página a seguir apresenta uma demonstração do Teorema de Pitágoras através de soma de áreas, trazendo também uma breve parte histórica que é a seguinte:

“(hipotenusa)2 = (cateto)2 + (cateto)2 .

Essa relação entre as medidas dos catetos e da hipotenusa de um triângulo, que já era utilizada no Egito na medição de terras, há mais ou menos 6.000 anos, foi justificada de forma geral no ano 540 a.C., aproximadamente. A propriedade é famosa e conhecida pelo nome de Teorema de Pitágoras.” (pág. 217).

Concluí-se que neste livro o conteúdo pouco mudou para os dias de hoje, mas a ordem desta apresentação do Teorema de Pitágoras não parece ser a mais correta, principalmente para quem nunca teve um contato com o mesmo que, nesse caso, são alunos de 7ª série. O autor poderia, após a definição dos tipos de triângulos, iniciar uma parte histórica do Teorema de Pitágoras, dizer porque o Teorema recebeu este nome, dar ênfase na demonstração do mesmo, após isso, então, definir quem é a hipotenusa e os catetos.

O segundo livro foi utilizado por muitas escolas estaduais de Santa Catarina até o ano de 2007, A Conquista da Matemática, de Giovanni, Castrucci e Giovanni Jr., Editora FTD.

Figura 8: 4º livro, A Conquista da Matemática, 8ª Série

Fonte: Editora FTD, SP 2002.


É um livro bem completo. O seu volume da 8ª série contém o assunto semelhança de figuras através de demonstrações e, logo após, já vem o Teorema de Pitágoras, mostrando, inclusive, como os egípcios o aplicavam através das cordas. Porém, a respeito de quem foi Pitágoras, traz somente três linhas. É um livro bom de trabalhar, mas foi muito criticado pelos alunos por causa de seu tamanho, contendo 367 páginas.

O terceiro livro chama-se Matemática e Realidade, de Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce e Antonio Machado, editora Atual. Coleção que é utilizada no C.E.M. Professora Maria Iracema Martins de Andrade, em São José, SC, mais conhecido como colégio Barreirão.


Figura 9: 5º livro, Matemática e Realidade, 8ª Série

Fonte: Editora Atual, 5ª Edição, 2005.


Nesta coleção o volume da 7ª série enfoca a construção de figuras planas e medição de ângulos, mas nada relacionado ao Teorema de Pitágoras.

O volume da 8ª série, na unidade 4, capítulo 13, inicia com Elemento de um triângulo retângulo, definindo quem é a hipotenusa e os catetos. Após essas definições, apresenta as Relações métricas no triângulo retângulo, e em uma dessas relações, está a fórmula do Teorema de Pitágoras, não mostrando sua origem.

Após apresentar essas relações, o capítulo traz uma quantidade satisfatória de exercícios, inclusive de reforço. Logo mais, aparecem Aplicações Notáveis do Teorema de Pitágoras, que são a diagonal do quadrado e a altura de um triângulo eqüilátero e, em seguida, mais exercícios e construções de figuras planas que pedem a utilização de régua e compasso.

A página 146 apresenta a parte histórica do Teorema, mostrando quem foi Pitágoras. Contém 4 figuras e cada uma delas é uma Demonstração do Teorema. As duas primeiras demonstrações definem:

Segundo a maioria dos historiadores que aceitam essa versão, a demonstração dada por Pitágoras deve ter sido uma demonstração geométrica, baseada na comparação de áreas, como a que apresentamos a seguir, ilustradas pelas figuras 1 e 2.” (pág. 147).

Figuras 1 e 2 tiradas do próprio livro, estão representadas neste trabalho pelas figuras 10 e 11 respectivamente::



(Demonstração do Teorema de Pitágoras)

Figura 10 Figura 11

Fonte: Matemática e Realidade, Ensino Fundamental, 8ª Série, Editora Atual, 2005.


Na figura 10 podemos realizar esta demonstração da seguinte forma:

A área do quadrado maior é (b + c)2 e é igual a 4 vezes a área do triângulo ABC, isto é,

mais a área do quadrado menor de lado a, temos então:


Figura 3, que é a do matemático hindu Bhaskara, está representada neste trabalho pela figura 12:



Figura 12: (Demonstração do matemático Bhaskara)

Fonte: Matemática e Realidade, Ensino Fundamental, 8ª Série, Editora Atual,2005.


A figura 4 já é a demonstração do Presidente Garfield, vista anteriormente no capítulo 2, subtítulo 2.2, Demonstrações do Teorema de Pitágoras, representada pela figura 3 deste trabalho.

Conclui-se que o conteúdo é um dos melhores já analisados, muito rico em informações e exercícios, contendo neste volume de 8ª série, 343 páginas, favorecendo ao professor a pouca busca de material extra para agregar a sua aula.




2.4.4 Modelo de Demonstração para sala de aula


Existem inúmeros exemplos de demonstrações para serem feitos em sala de aula. Uma demonstração que os livros didáticos mais sujerem é a utilização de áreas de 3 quadrados, utilizando uma demonstração de objetos concretos. É elaborada da seguinte forma:

Peça para que os alunos construa no emborrachado 3 quadrados e um triângulo, com as medidas devidas. Depois peça para que eles calculem a área dos quadrados, quadriculando-os. Depois faça a verificação com eles para ver se os dois quadrados menores caibam no quadrado maior. Verificado isto, está comprovado o Teorema de Pitágoras.

Figura 13: Modelo de Demonstração para sala de aula.

Fonte: Intenet9




________________

9 www.rdpizzinga.pro.br/.../pitagoras/emblema.gif


Esta forma de demonstrar o Teorema de Pitágoras aos alunos, possibilita uma maneira prática de construção do conhecimento.

Estudos sobre brincadeira e jogos apontam que “brincar é uma atividade humana criadora, na qual a imaginação, a fantasia e a realidade interagem na produção de novas possibilidades de interpretação, de expressão e de ação pelas crianças, assim como de novas formas de construir relações sociais com outros sujeitos, crianças e adultos” (BORBA, 2007, p.37).

É observado por vários estudiosos que o uso do lúdico é um instrumento que leva o professor a estimular os alunos ao processo de ensino-aprendizagem.

Ao tomar como parâmetro às teorias de DANTAS (1998, p. 111) “o termo lúdico refere-se à função de brincar (de uma forma livre e individual) e jogar (no que se refere a uma conduta social que supõe regras)”. Assim, o jogo é como se fosse uma parte inerente do ser humano, sendo encontrado, na Filosofia, na Arte, na Pedagogia, na Poesia (com rimas de palavras), e em todos os atos de expressão. (Andrade e Sanches, 2005).

Portanto, o emprego da atividade lúdica definiu-se a toda e qualquer tipo de atividade alegre e descontraída, desde que possibilite a expressão do agir e interagir. Queremos destacar também, que embora algum pesquisador centralizasse a ação do lúdico na aprendizagem infantil, o adulto também pode ser beneficiado com atividades lúdicas, tornando o processo de ensino/aprendizagem de línguas mais motivado, descontraído e prazeroso, aliviando certas tensões que são carregadas pelo ser humano devido ao constante estresse do dia-a-dia.



O lúdico apresenta dois elementos que o caracterizam: o prazer e o esforço espontâneo. Ele é considerado prazeroso, devido a sua capacidade de absorver o indivíduo de forma intensa e total, criando um clima de entusiasmo. É este aspecto de envolvimento emocional que o torna uma atividade com forte teor motivacional, capaz de gerar um estado de vibração e euforia. Em virtude desta atmosfera de prazer dentro da qual se desenrola, a ludicidade é portadora de um interesse intrínseco, canalizando as energias no sentido de um esforço total para consecução de seu objetivo. Portanto, as atividades lúdicas são excitantes, mas também requerem um esforço voluntário. (...) As situações lúdicas mobilizam esquemas mentais. Sendo uma atividade física e mental, a ludicidade aciona e ativa as funções psico-neurológicas e as operações mentais, estimulando o pensamento. (...) As atividades lúdicas integram as várias dimensões da personalidade: afetiva, motora e cognitiva. Como atividade física e mental que mobiliza as funções e operações, a ludicidade aciona as esferas motoras e cognitivas, e à medida que gera envolvimento emocional, apela para a esfera afetiva. Assim sendo, vê-se que a atividade lúdica se assemelha à atividade artística, como um elemento integrador dos vários aspectos da personalidade. O ser que brinca e joga é, também, o ser que age, sente, pensa, aprende e se desenvolve. (Teixeira, 1995, p. 23).



































3 CONSIDERAÇÕES FINAIS E SUGESTÕES


Nesta pesquisa foi apresentada a importância da Integração da História da Matemática no ensino da Matemática, destacando o Teorema de Pitágoras. Foi apresentada como se faz a Construção do Conhecimento Matemático.Também foi relatado as abordagens das Propostas Curriculares em relação a História da Matemática no Ensino da Matemática e foi feita uma análise em alguns livros sobre o que se relata do Teorema de Pitágoras.



3.1 Considerações finais


Em resposta ao problema abordado neste tema, considera-se de suma importância a Integração da História da Matemática apresentando um papel importante no processo de ensino-aprendizagem tanto para o aluno quanto para o professor, favorecendo assim uma das melhores maneiras de se construir o Conhecimento Matemático. Considera-se, com estas colocações, que o objetivo geral desta pesquisa foi alcançado, visto que o Teorema de Pitágoras bem trabalhado no Ensino Fundamental com os alunos, utilizando a História da Matemática, propiciará um melhor intendimento e uma maior fixação do assunto. Em partes, conclui-se que, o objetivo de Integrar a História da Matemática no Ensino da Matemática, constitui uma ferramenta de grande utilidade, mas o seu uso deve ser de modo claro e específico, para poder atingir o verdadeiro objetivo que é a aprendizagem do aluno. A Construção do Conhecimento Matemático é uma consequência da aplicação da História da Matemática em sala de aula, não podendo esquecer que nas próprias Propostas Curriculares a referência sobre este assunto é muito rica, de forma clara e objetiva. Verificou-se que o livro didático pouco explora o aspecto histórico do Teorema de Pitágoras. E quando o faz é de maneira superficial e informativa.

Acredita-se que um trabalho que forneça condições de discutir o Teorema de Pitágoras, em seu aspecto histórico, para o trabalho em sala de aula é de fundamental importância para a significação de conceitos matemáticos pelo professor e pelos alunos.




3.2 Sugestões


Durante o desenvolvimento da pesquisa, percebeu-se que os livros didáticos pouco exploram a parte histórica da Matemática. Em vistude disso, ficam como sugestões:


REFERÊNCIAS


ANDRADE, O. G; SANCHES, G. M. M. B. Aprendendo com o Lúdico. In: O DESAFIO DAS LETRAS, 2., 2004, Rolândia, Anais... Rolândia: FACCAR, 2005. ISSN: 1808-2548.


BARROS, AIDIL JESUS DA SILVEIRA e LEHFELD, NEIDE APARECIDA DE SOUZA, Fundamentos de Metodologia Científica,


BELL, M. – Eric Temple Bell, La Matbémaique, Reine et Servani des Sciences, Trad. De Saint-Genne, Paris, 1953.


BONGIOVANNI, VISSOTO e LAUREANO, Matemática e Vida, 8ª série, 6ª edição, Ática;


Brasília, Secretaria de Educação Fundamental, Parâmetros Curriculares Nacionais: MEC / SEF – 1998.


CADERNOS CEDES 40, História e Educação Matemática, 1ª Edição, 1996, São Paulo, Papirus.


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